Abstrakt. Gesetz der Energieeinsparung. Satz über die kinetische Energie. Satz über die kinetische Energie. Herleitung der Formel

Beginnen wir mit einer Definition. Arbeit A Stärke F beim Umzug X des Körpers, auf den es angewendet wird, ist als Skalarprodukt von Vektoren definiert F Und X .

A= F x= Fxcosα. (2.9.1)

Wo α – der Winkel zwischen den Kraft- und Wegrichtungen.

Jetzt benötigen wir den Ausdruck (1.6 a), der für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung erhalten wurde. Aber wir werden eine universelle Schlussfolgerung ziehen, die als Satz über die kinetische Energie bezeichnet wird. Schreiben wir also die Gleichheit um (1.6 a)

A· X=(V 2 –V 0 2)/2.

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit der Masse des Teilchens, erhalten wir

Fx=m(V 2 –V 0 2)/2.

Endlich

A= M V 2 /2 – M V 0 2 /2. (2.9.1)

Größe E= M V 2 /2 wird die kinetische Energie des Teilchens genannt.

Sie sind daran gewöhnt, dass Sätze in der Geometrie ihre eigene mündliche Formulierung haben. Um mit dieser Tradition Schritt zu halten, präsentieren wir den Satz über die kinetische Energie in Textform.

Die Änderung der kinetischen Energie eines Körpers entspricht der Arbeit aller auf ihn einwirkenden Kräfte.

Dieser Satz ist universell, d. h. er gilt für jede Art von Bewegung. Der genaue Beweis erfordert jedoch die Verwendung der Integralrechnung. Deshalb lassen wir es weg.

Betrachten wir ein Beispiel für die Bewegung eines Körpers in einem Gravitationsfeld. Die Arbeit der Schwerkraft hängt nicht von der Art der Flugbahn ab, die Start- und Endpunkt verbindet, sondern wird nur durch den Höhenunterschied in Start- und Endposition bestimmt:

A=mg( H 1 –H 2). (2.9.2)

Nehmen wir einen Punkt im Gravitationsfeld als Ursprung und betrachten wir die Arbeit, die die Schwerkraft verrichtet, wenn ein Teilchen von einem anderen beliebigen Punkt zu diesem Punkt bewegt wird R, in einer Höhe gelegen H. Diese Arbeit ist gleich mgh und heißt potentielle Energie E n Teilchen an einem Punkt R:

E n = mgh (2.9.3)

Nun transformieren wir die Gleichheit (2.9.1), der mechanische Satz über die kinetische Energie nimmt die Form an

A= M V 2 /2 – M V 0 2 /2= E p1 – E p2. (2.9.4)

M V 2 /2+ E n2 = M V 0 2 /2+ E p1.

In dieser Gleichheit befindet sich auf der linken Seite die Summe aus kinetischer und potentieller Energie am Endpunkt der Flugbahn und auf der rechten Seite am Anfangspunkt.

Diese Menge wird als gesamte mechanische Energie bezeichnet. Wir werden es bezeichnen E.

E=E k + E P.

Wir sind zum Gesetz der Erhaltung der Gesamtenergie gelangt: In einem geschlossenen System bleibt die Gesamtenergie erhalten.

Eine Anmerkung sollte jedoch gemacht werden. Während wir uns ein Beispiel für das sogenannte ansahen konservative Kräfte. Diese Kräfte hängen nur von der Position im Raum ab. Und die Arbeit, die solche Kräfte leisten, wenn sie einen Körper von einer Position in eine andere bewegt, hängt nur von diesen beiden Positionen und nicht vom Weg ab. Die von einer konservativen Kraft geleistete Arbeit ist mechanisch reversibel, das heißt, sie ändert ihr Vorzeichen, wenn der Körper in seine ursprüngliche Position zurückkehrt. Die Schwerkraft ist eine konservative Kraft. In Zukunft werden wir andere Arten konservativer Kräfte kennenlernen, beispielsweise die Kraft der elektrostatischen Wechselwirkung.

Aber in der Natur gibt es sie auch nichtkonservative Kräfte. Zum Beispiel die Gleitreibungskraft. Je länger der Weg eines Teilchens ist, desto mehr Arbeit wird durch die auf dieses Teilchen wirkende Gleitreibungskraft verrichtet. Darüber hinaus ist die Arbeit der Gleitreibungskraft immer negativ, d. h. eine solche Kraft kann keine Energie „zurückgeben“.

Bei geschlossenen Systemen bleibt die Gesamtenergie natürlich erhalten. Für die meisten Probleme der Mechanik ist jedoch ein Sonderfall des Energieerhaltungssatzes, nämlich der Erhaltungssatz der gesamten mechanischen Energie, wichtiger. Hier ist sein Wortlaut.

Wenn auf einen Körper nur konservative Kräfte wirken, bleibt seine gesamte mechanische Energie, definiert als Summe aus kinetischer und potentieller Energie, erhalten.

Im Folgenden benötigen wir zwei weitere wichtige Gleichheiten. Wie immer werden wir die Schlussfolgerung durch eine einfache Demonstration eines Sonderfalls des Schwerefeldes ersetzen. Aber die Form dieser Gleichheiten wird für alle konservativen Kräfte gültig sein.

Reduzieren wir die Gleichheit (2.9.4) auf die Form

A=F∆X= E p1 – E n2 = –( E p.kon – E n.beg)= – ∆U.

Hier haben wir uns die Arbeit angeschaut A wenn ein Körper um eine Strecke ∆ bewegt wird X. Der Wert ∆U, der der Differenz zwischen der endgültigen und anfänglichen potentiellen Energie entspricht, wird als Änderung der potentiellen Energie bezeichnet. Und die daraus resultierende Gleichheit verdient eine eigene Zeile und eine besondere Nummer. Beeilen wir uns, es ihm zuzuweisen:

A=– ∆U (2.9.5)

Daraus ergibt sich der mathematische Zusammenhang zwischen Kraft und potentieller Energie:

F= – ∆U/∆ X (2.9.6)

Im allgemeinen Fall, unabhängig vom Gravitationsfeld, ist die Gleichung (2.9.6) die einfachste Differentialgleichung

F= – du/ dx.

Betrachten wir das letzte Beispiel ohne Beweis. Die Gravitationskraft wird durch das Gesetz der universellen Gravitation beschrieben F(R)= GmM/ R 2 und ist konservativ. Der Ausdruck für die potentielle Energie des Gravitationsfeldes hat die Form:

U(R)= – GmM/ R.

Autor: – Schauen wir uns einen einfachen Fall an. Auf einen Körper der Masse m, der sich in einer horizontalen Ebene befindet, wirkt eine Zeit lang ein T horizontale Kraft F. Es gibt keine Reibung. Welche Arbeit wird mit Gewalt verrichtet? F?

Student: – Während T Der Körper bewegt sich um eine Strecke S= AT 2/2, wo A=F/M. Daher ist der erforderliche Job A=F S= F 2 T 2 /(2m).

Autor: Alles ist richtig, wenn wir davon ausgehen, dass der Körper ruhte, bevor die Kraft auf ihn einzuwirken begann. Machen wir die Aufgabe etwas komplizierter. Lassen Sie den Körper sich vor dem Einsetzen der Kraft geradlinig und gleichmäßig mit einer bestimmten Geschwindigkeit V 0 bewegen, gleichgerichtet mit der äußeren Kraft. Welche Arbeiten sind jetzt rechtzeitig erledigt? T?

Student: – Um die Verschiebung zu berechnen, verwende ich eine allgemeinere Formel S= V 0 T+AT 2/2, ich bekomme es für die Arbeit A=F(V 0 T+AT 2/2). Wenn ich das vorherige Ergebnis vergleiche, sehe ich, dass dieselbe Kraft über dieselben Zeiträume unterschiedliche Arbeit leistet.

Ein Körper der Masse m gleitet auf einer schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel α hinab. Gleitreibungskoeffizient eines Körpers auf einer Ebene k. Auf den Körper wirkt ständig eine horizontale Kraft F. Welche Arbeit verrichtet diese Kraft, wenn sie den Körper um die Strecke S bewegt?

Student: – Ordnen wir die Kräfte und ermitteln wir ihre Resultierende. Auf den Körper wirken eine äußere Kraft F sowie die Kräfte der Schwerkraft, der Stützreaktion und der Reibung.

Student: – Es stellt sich heraus, dass Arbeit A = F S cosα und das wars. Die Angewohnheit, jedes Mal nach allen Kräften zu suchen, hat mich wirklich enttäuscht, zumal das Problem die Masse und den Reibungskoeffizienten angab.

Student: – Kraftarbeit F Ich habe bereits berechnet: A 1 = F S cosα. Die durch die Schwerkraft verrichtete Arbeit beträgt A 2 =mgS Sündeα. Die Arbeit der Reibungskraft ... ist negativ, da die Vektoren von Kraft und Weg entgegengesetzt gerichtet sind: A 3 = – kmgS cosα. Arbeit der Eingreiftruppe N ist gleich Null, da Kraft und Weg senkrecht zueinander stehen. Stimmt es, dass ich die Bedeutung von negativer Arbeit nicht wirklich verstehe?

Autor: – Dies bedeutet, dass die Arbeit einer bestimmten Kraft die kinetische Energie des Körpers verringert. Übrigens. Betrachten wir die Bewegung des in Abb. 2.9.1 dargestellten Körpers aus der Sicht des Energieerhaltungssatzes. Ermitteln Sie zunächst die Gesamtarbeit aller Kräfte.

Student: - A= A 1 + A 2 + A 3 = FS cosα+ mgS Sündeα– kmgS cosα.

Nach dem Satz der kinetischen Energie ist die Differenz zwischen der kinetischen Energie im End- und Anfangszustand gleich der am Körper geleisteten Arbeit:

E Zu - E n = A.

Student: – Vielleicht waren das andere Gleichungen, die nichts mit diesem Problem zu tun hatten?

Autor: – Aber alle Gleichungen sollten das gleiche Ergebnis liefern. Der Punkt ist, dass potentielle Energie latent im Ausdruck für Gesamtarbeit enthalten ist. Denken Sie in der Tat daran, dass A 2 = mgS ist Sündeα=mgh, wobei h die Absinkhöhe des Körpers ist. Erhalten Sie nun aus dem Satz der kinetischen Energie einen Ausdruck für den Energieerhaltungssatz.

Student: – Da mgh=U n – U k, wobei U n und U k jeweils die anfängliche und endgültige potentielle Energie des Körpers sind, haben wir:

M V n 2 /2 + U n + A 1 + A 3 = m V bis 2 /2+ U Zu.

Student: – Das ist meiner Meinung nach einfach. Die durch die Reibungskraft verrichtete Arbeit ist genau gleich groß wie die Wärmemenge Q. Deshalb Q= kmgS cosα.

Student: M V n 2 /2 + U n + A 1 – Q= m V bis 2 /2+ U Zu.

Autor: – Lassen Sie uns nun die Definition von Arbeit etwas verallgemeinern. Tatsache ist, dass die Beziehung (2.9.1) nur für den Fall einer konstanten Kraft gilt. Allerdings gibt es viele Fälle, in denen die Kraft selbst von der Bewegung des Teilchens abhängt. Gib ein Beispiel.

Student: – Das erste, was mir in den Sinn kommt, ist das Dehnen im Frühling. Wenn sich das lose Ende der Feder bewegt, erhöht sich die Kraft. Das zweite Beispiel bezieht sich auf ein Pendel, das bekanntlich bei großen Abweichungen von der Gleichgewichtslage schwieriger zu halten ist.

Autor: – Bußgeld. Schauen wir uns das Frühlingsbeispiel an. Die elastische Kraft einer idealen Feder wird durch das Hookesche Gesetz beschrieben, nach dem die Feder um einen bestimmten Betrag zusammengedrückt (oder gedehnt) wird X Es entsteht eine Kraft, die der Verschiebung entgegengesetzt ist und linear davon abhängt X. Schreiben wir das Hookesche Gesetz als Gleichheit:

F= – k X (2.9.2)

Dabei ist k der Federsteifigkeitskoeffizient, X– das Ausmaß der Federverformung. Zeichnen Sie ein Diagramm der Beziehung F(X).

Student: Meine Zeichnung ist auf dem Bild abgebildet.

Abb.2.9.2

Die linke Hälfte des Diagramms entspricht der Kompression der Feder und die rechte Hälfte entspricht der Spannung.

Autor: – Berechnen wir nun die Arbeit, die die Kraft F beim Bewegen verrichtet X=0 bis X= S. Hierfür gibt es eine allgemeine Regel. Wenn wir die allgemeine Abhängigkeit der Kraft von der Verschiebung kennen, hängt die Arbeit am Abschnitt von x ab 1 bis x 2 ist die Fläche unter der KurveF(X) auf diesem Segment.

Student: – Damit ist die Arbeit gemeint, die die elastische Kraft bei der Bewegung eines Körpers verrichtet X=0 bis X=S ist negativ und sein Modul entspricht der Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks: A= kS 2 /2.

A= k X 2 /2. (2.9.3)

Diese Arbeit wird in potentielle Energie der verformten Feder umgewandelt.

Geschichte.

Rutherford demonstrierte den Zuhörern den Zerfall von Radium. Der Bildschirm leuchtete und verdunkelte sich abwechselnd.

- Jetzt siehst du – sagte Rutherford, – dass nichts sichtbar ist. Und warum nichts sichtbar ist, werden Sie jetzt sehen.

Fragen und Aufgaben

1. Listen Sie Alltagssituationen auf, in denen nicht-konservative Kräfte im Spiel sind.

2. Du hebst das Buch langsam vom Tisch auf ein hohes Regal. Listen Sie die Kräfte auf, die auf das Buch einwirken, und bestimmen Sie, welche davon konservativ sind und welche nicht.

3. Die resultierende Kraft, die auf das Teilchen einwirkt, ist konservativ und erhöht seine kinetische Energie um 300 J. Wie groß ist die Änderung a) der potentiellen Energie des Teilchens, b) seiner Gesamtenergie?

4. Ist die folgende Aussage physikalisch sinnvoll: Die Verwendung von Stöcken aus flexiblem Kunststoff bei Hochsprüngen hat zu einer Steigerung der Ergebnisse geführt, da ihre größere Flexibilität zusätzliche elastische Energie liefert, die in potentielle Energie des Gravitationsfeldes umgewandelt wird?

5. Es gibt eine schiefe Ebene, deren eines Ende auf eine Höhe angehoben ist N. Körpermasse M rollt (ohne Anfangsgeschwindigkeit) vom obersten Punkt nach unten. Hängt die Geschwindigkeit dieses Körpers an der Basis der schiefen Ebene von dem Winkel ab, den er mit dem Horizont bildet, wenn a) keine Reibung vorhanden ist, b) Reibung vorhanden ist?

6. Warum werden wir immer noch müde, wenn wir einen Berg erst besteigen und dann wieder absteigen? Schließlich ist die gesamte in einem Gravitationsfeld geleistete Arbeit Null.

7. Dieses Beispiel ist noch schwieriger. Stellen Sie sich vor, Sie halten eine Hantel auf Armeslänge. Keine Sorge, es ist nicht sehr schwer. Aber trotzdem wird die Hand müde. Aber es gibt keine mechanische Arbeit, weil es keine Bewegung gibt. Wohin geht die Energie Ihrer Muskeln?

8. Federmasse M ruht in vertikaler Position auf dem Tisch. Wird die Feder in der Lage sein, zu springen und sich vom Tisch zu lösen, nachdem Sie sie von oben zusammengedrückt und dann losgelassen haben? Begründen Sie Ihre Antwort anhand des Energieerhaltungssatzes.

9. Was passiert mit der potentiellen Energie, die das Wasser an der Spitze des Wasserfalls hatte, wenn das Wasser seine Basis erreicht? Was passiert mit der kinetischen und der Gesamtenergie?

10. Erfahrene Touristen steigen lieber über einen umgestürzten Baumstamm, als darauf zu treten und von der gegenüberliegenden Seite abzuspringen. Erklären Sie das Phänomen.

11. Zwei Personen befinden sich auf verschiedenen Plattformen, die sich mit der Geschwindigkeit V relativ zueinander bewegen. Sie beobachten einen Baumstamm, der über eine raue horizontale Oberfläche gezogen wird. Stimmen die von diesen Personen erhaltenen Werte überein: a) kinetische Energie des Baumstamms; b) Gesamtarbeit am Körper; c) mechanische Energie durch Reibung in thermische Energie umgewandelt? Steht die Antwort auf Frage c) im Widerspruch zu den Antworten auf Fragen a) und b)?

12. Woher kommt die kinetische Energie eines Autos, wenn es aus dem Ruhezustand gleichmäßig beschleunigt? Wie können wir den Anstieg der kinetischen Energie mit dem Vorhandensein von Reibung zwischen den Reifen und der Fahrbahn in Verbindung bringen?

13. Im Winter nähert sich die Erde der Sonne auf kürzestem Weg. Wann ist die potentielle Energie der Erde am größten?

14 Kann die gesamte mechanische Energie negativ sein? Nenne Beispiele.

15. An welchem Punkt ist die Kraft am größten? Geben Sie für jeden nummerierten Punkt an, in welche Richtung die Kraft wirkt. Welcher Punkt entspricht der Gleichgewichtslage?

Aufgaben

16. Eine Kugel durchschlägt ein festes Brett mit einer Mindestgeschwindigkeit von 200 MS. Wie schnell muss die Kugel fliegen, um dieses an einem langen Faden hängende Brett zu durchschlagen? Geschossgewicht 15 G, Brettgewicht 90 G, das Geschoss trifft genau in der Mitte des Bretts senkrecht zu seiner Oberfläche.

17. Holzkugel aus Masse M =1 kg hängt an einer Schnur, so dass der Abstand vom Aufhängepunkt der Schnur bis zur Mitte des Balls gleich ist L= 1 M. Der Ball wird von einem horizontal fliegenden Flugzeug getroffen V 1 =400 MS Geschossmasse M= 10 G, der die Kugel genau entlang des Durchmessers durchbohrt und mit hoher Geschwindigkeit aus ihr herausfliegt V 2 =230 MS. Bestimmen Sie den Winkel  maximale Abweichung der Aufhängung von der Vertikalen. Vernachlässigen Sie den Luftwiderstand und die Zeit, die eine Kugel benötigt, um in die Kugel einzudringen.

18. Auf einer Ebene, die im Winkel α zum Horizont geneigt ist, zwei Massenkörper M. Reibungskoeffizient zwischen Körper und Ebene k>tgα. Den Körpern werden die gleichen Gegengeschwindigkeiten verliehen V. Bei welchem maximalen Anfangsabstand L Werden sie zwischen Körpern kollidieren?

19. Der Wagen rollt über glatte Schienen und bildet eine vertikale Schleife mit Radius R. Ab welcher Mindesthöhe H Mindestens sollte der Wagen rollen, damit er die Schienen nicht auf der gesamten Länge verlässt? Wie wird sich der Wagen bewegen, wenn er aus großer Höhe herunterrollt? H, kleiner H Mindest?

20. Bestimmen Sie die Kraft, die von der fallenden Hantel auf die vertikale Wand wirkt, in dem Moment, in dem die Achse der Hantel einen Winkel  mit der Horizontalen bildet. Die Hantel beginnt ihre Bewegung aus einer vertikalen Position ohne Anfangsgeschwindigkeit. Die Masse jedes Hantelballs beträgt m.

21. Auf einer Fadenlänge 2 H schwebendes Gewicht M. Auf Distanz H Unter dem Aufhängepunkt wird ein Nagel eingeschlagen. Der Faden wurde um einen Winkel von /2 aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und freigegeben. Bis zu welcher maximalen Höhe steigt das Gewicht nach Durchlaufen der Gleichgewichtsposition?

22. Massenstand M mit halbkugelförmigem Aussparungsradius R steht auf einer glatten horizontalen Ebene. Kleiner Massenkörper M Legen Sie es auf den Rand der Kerbe und lassen Sie es los. Finden Sie die Geschwindigkeiten des Körpers und des Standes, die Kraft, die auf den Körper im Moment des Passierens des tiefsten Punktes wirkt

23. Gewichtsmasse M, aufgehängt an einer Versteifungsfeder k, wird vom Ständer gehalten, so dass sich die Feder in einem unverformten Zustand befindet. Der Ständer wird plötzlich entfernt. Ermitteln Sie die maximale Dehnung der Feder und die maximale Geschwindigkeit der Last.

24. Von einer Last, die an einer Versteifungsfeder hängt k, ein Teil der Masse löst sich M. Bis zu welcher Höhe wird der verbleibende Teil der Ladung danach steigen?

25. Wie viel Kraft soll auf die Obermasse ausgeübt werden? M, sodass die untere Last wiegt M, verbunden mit der oberen Versteifungsfeder k, kam vom Boden auf, nachdem die Kraft aufgehört hatte?

26. Zwei Körper mit Massen liegen auf einer horizontalen Ebene M 1 und M 2 durch eine unverformte Feder verbunden. Finden Sie die kleinste konstante Kraft, die auf den linken Körper ausgeübt werden muss, damit sich der rechte bewegt. Der Reibungskoeffizient zwischen Körpern und einer Ebene beträgt .

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Kurze Review

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Zwei Fälle der Transformation der mechanischen Bewegung eines materiellen Punktes oder Punktesystems:

mechanische Bewegung wird als mechanische Bewegung von einem mechanischen System auf ein anderes übertragen;
mechanische Bewegung wird in eine andere Bewegungsform der Materie umgewandelt (in die Form potentieller Energie, Wärme, Elektrizität usw.).

Wenn die Umwandlung einer mechanischen Bewegung ohne Übergang in eine andere Bewegungsform betrachtet wird, ist das Maß der mechanischen Bewegung der Impulsvektor eines materiellen Punktes oder eines mechanischen Systems. Das Maß der Kraft ist in diesem Fall der Vektor des Kraftimpulses.

Wenn mechanische Bewegung in eine andere Form der Bewegung von Materie übergeht, dient die kinetische Energie eines materiellen Punktes oder mechanischen Systems als Maß für die mechanische Bewegung. Das Maß für die Kraftwirkung bei der Umwandlung einer mechanischen Bewegung in eine andere Bewegungsform ist die Kraftarbeit

Kinetische Energie

Unter kinetischer Energie versteht man die Fähigkeit des Körpers, bei der Bewegung ein Hindernis zu überwinden.

Kinetische Energie eines materiellen Punktes

Die kinetische Energie eines materiellen Punktes ist eine skalare Größe, die der Hälfte des Produkts aus der Masse des Punktes und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit entspricht.

Kinetische Energie:

charakterisiert sowohl translatorische als auch rotatorische Bewegungen;
hängt nicht von der Bewegungsrichtung der Punkte des Systems ab und charakterisiert keine Änderungen in diese Richtungen;
charakterisiert die Wirkung sowohl innerer als auch äußerer Kräfte.

Kinetische Energie eines mechanischen Systems

Die kinetische Energie des Systems ist gleich der Summe der kinetischen Energien der Körper des Systems. Die kinetische Energie hängt von der Art der Bewegung der Körper des Systems ab.

Bestimmung der kinetischen Energie eines Festkörpers für verschiedene Bewegungsarten.

Kinetische Energie der Translationsbewegung
Während der Translationsbewegung ist die kinetische Energie des Körpers gleich T=M V 2 /2.

Das Maß für die Trägheit eines Körpers während der Translationsbewegung ist die Masse.

Kinetische Energie der Rotationsbewegung eines Körpers

Bei der Rotationsbewegung eines Körpers ist die kinetische Energie gleich dem halben Produkt aus dem Trägheitsmoment des Körpers relativ zur Rotationsachse und dem Quadrat seiner Winkelgeschwindigkeit.

Ein Maß für die Trägheit eines Körpers bei Drehbewegungen ist das Trägheitsmoment.

Die kinetische Energie eines Körpers hängt nicht von der Drehrichtung des Körpers ab.

Kinetische Energie der planparallelen Bewegung eines Körpers

Bei planparalleler Bewegung eines Körpers ist die kinetische Energie gleich

Kraftarbeit

Die Kraftarbeit charakterisiert die Wirkung einer Kraft auf einen Körper während einer Bewegung und bestimmt die Änderung des Geschwindigkeitsmoduls eines bewegten Punktes.

Elementare Kraftarbeit

Die Elementararbeit einer Kraft ist definiert als eine skalare Größe, die dem Produkt der Projektion der Kraft auf die Tangente an die Flugbahn, gerichtet in die Bewegungsrichtung des Punktes, und der in dieser Richtung gerichteten infinitesimalen Verschiebung des Punktes entspricht Tangente.

Kraftarbeit bei der endgültigen Verschiebung

Die von einer Kraft bei einer endgültigen Verschiebung geleistete Arbeit ist gleich der Summe ihrer Arbeit an Elementarquerschnitten.

Die Arbeit einer Kraft an einer endgültigen Verschiebung M 1 M 0 ist gleich dem Integral der Elementararbeit entlang dieser Verschiebung.

Die Arbeit einer Kraft auf die Verschiebung M 1 M 2 wird durch die Fläche der Figur dargestellt, begrenzt durch die Abszissenachse, die Kurve und die Ordinaten, die den Punkten M 1 und M 0 entsprechen.

Die Maßeinheit für die Arbeit von Kraft und kinetischer Energie im SI-System ist 1 (J).

Sätze über die Kraftarbeit

Satz 1. Die von der resultierenden Kraft bei einer bestimmten Verschiebung geleistete Arbeit ist gleich der algebraischen Summe der Arbeit, die von den Komponentenkräften bei derselben Verschiebung geleistet wird.

Satz 2. Die Arbeit, die eine konstante Kraft auf die resultierende Verschiebung verrichtet, ist gleich der algebraischen Summe der Arbeit, die diese Kraft auf die Komponentenverschiebungen verrichtet.

Leistung

Leistung ist eine Größe, die die von einer Kraft pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit bestimmt.

Die Einheit der Leistungsmessung ist 1W = 1 J/s.

Fälle zur Bestimmung der Kräftearbeit

Arbeit der inneren Kräfte

Die Summe der von den inneren Kräften eines starren Körpers bei jeder Bewegung geleisteten Arbeit ist Null.

Arbeit der Schwerkraft

Arbeit der elastischen Kraft

Arbeit der Reibungskraft

Arbeit der auf einen rotierenden Körper ausgeübten Kräfte

Die Elementararbeit der Kräfte, die auf einen starren Körper wirken, der sich um eine feste Achse dreht, ist gleich dem Produkt aus dem Hauptmoment der äußeren Kräfte relativ zur Drehachse und dem Inkrement des Drehwinkels.

Rollwiderstand

In der Kontaktzone des stationären Zylinders und der Ebene kommt es zu einer lokalen Verformung der Kontaktkompression, die Spannungsverteilung erfolgt nach einem elliptischen Gesetz und die Wirkungslinie der Resultierenden N dieser Spannungen fällt mit der Wirkungslinie der Last zusammen Kraft auf den Zylinder Q. Beim Rollen des Zylinders wird die Lastverteilung asymmetrisch mit einem in Richtung Bewegung verschobenen Maximum. Die Resultierende N wird um den Betrag k verschoben – den Arm der Rollreibungskraft, der auch Rollreibungskoeffizient genannt wird und die Dimension Länge (cm) hat.

Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines materiellen Punktes

Die Änderung der kinetischen Energie eines materiellen Punktes bei einer bestimmten Verschiebung ist gleich der algebraischen Summe aller Kräfte, die bei derselben Verschiebung auf den Punkt wirken.

Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems

Die Änderung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems bei einer bestimmten Verschiebung ist gleich der algebraischen Summe der inneren und äußeren Kräfte, die bei derselben Verschiebung auf die materiellen Punkte des Systems wirken.

Satz über die Änderung der kinetischen Energie eines festen Körpers

Die Änderung der kinetischen Energie eines starren Körpers (unverändertes System) bei einer bestimmten Verschiebung ist gleich der Summe der äußeren Kräfte, die bei derselben Verschiebung auf Punkte des Systems wirken.

Effizienz

Kräfte, die in Mechanismen wirken

Kräfte und Kräftepaare (Momente), die auf einen Mechanismus oder eine Maschine wirken, können in Gruppen eingeteilt werden:

1. Antriebskräfte und -momente, die positive Arbeit leisten (auf die Antriebsglieder angewendet, z. B. Gasdruck auf den Kolben in einem Verbrennungsmotor).

2. Kräfte und Widerstandsmomente, die negative Arbeit leisten:

Nutzwiderstand (sie verrichten die von der Maschine geforderte Arbeit und werden auf die angetriebenen Glieder ausgeübt, z. B. der Widerstand der von der Maschine angehobenen Last),
Widerstandskräfte (z. B. Reibungskräfte, Luftwiderstand usw.).

3. Schwerkraftkräfte und elastische Kräfte von Federn (sowohl positive als auch negative Arbeit, während die Arbeit für einen vollständigen Zyklus Null ist).

4. Von außen auf den Körper oder Ständer einwirkende Kräfte und Momente (Reaktion des Fundaments etc.), die keine Arbeit leisten.

5. Wechselwirkungskräfte zwischen Verbindungen, die in kinematischen Paaren wirken.

6. Die Trägheitskräfte der Verbindungen, die durch die Masse und die Bewegung der Verbindungen mit Beschleunigung verursacht werden, können positive, negative Arbeit leisten und keine Arbeit leisten.

Kräftearbeit in Mechanismen

Wenn die Maschine im stationären Zustand arbeitet, ändert sich ihre kinetische Energie nicht und die Summe der auf sie ausgeübten Arbeit der Antriebs- und Widerstandskräfte ist Null.

Die Arbeit, die aufgewendet wird, um die Maschine in Bewegung zu setzen, wird in die Überwindung nützlicher und schädlicher Widerstände aufgewendet.

Effizienz der Mechanismen

Der mechanische Wirkungsgrad bei stetiger Bewegung ist gleich dem Verhältnis der Nutzarbeit der Maschine zur Arbeit, die für das Antreiben der Maschine aufgewendet wird:

Maschinenelemente können in Reihe, parallel und gemischt geschaltet werden.

Effizienz in Reihenschaltung

Wenn Mechanismen in Reihe geschaltet sind, ist der Gesamtwirkungsgrad geringer als der niedrigste Wirkungsgrad eines einzelnen Mechanismus.

Effizienz in Parallelschaltung

Bei Parallelschaltung von Mechanismen ist der Gesamtwirkungsgrad größer als der niedrigste und kleiner als der höchste Wirkungsgrad eines einzelnen Mechanismus.

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Berechnungsbeispiel eines Stirnradgetriebes
Ein Beispiel für die Berechnung eines Stirnradgetriebes. Die Materialauswahl, die Berechnung der zulässigen Spannungen, die Berechnung der Kontakt- und Biegefestigkeit wurden durchgeführt.

Ein Beispiel für die Lösung eines Balkenbiegeproblems
Im Beispiel wurden Diagramme der Querkräfte und Biegemomente erstellt, ein gefährlicher Abschnitt gefunden und ein I-Träger ausgewählt. Das Problem analysierte die Konstruktion von Diagrammen unter Verwendung differenzieller Abhängigkeiten und führte eine vergleichende Analyse verschiedener Balkenquerschnitte durch.

Ein Beispiel für die Lösung eines Wellentorsionsproblems
Die Aufgabe besteht darin, die Festigkeit einer Stahlwelle bei gegebenem Durchmesser, Material und zulässiger Beanspruchung zu testen. Bei der Lösung werden Diagramme von Drehmomenten, Schubspannungen und Verdrehwinkeln erstellt. Das Eigengewicht der Welle wird nicht berücksichtigt

Ein Beispiel für die Lösung eines Spannungs-Druck-Problems einer Stange
Die Aufgabe besteht darin, die Festigkeit eines Stabstahls bei vorgegebenen zulässigen Spannungen zu prüfen. Bei der Lösung werden Diagramme der Längskräfte, Normalspannungen und Verschiebungen erstellt. Das Eigengewicht der Rute wird nicht berücksichtigt

Anwendung des Satzes zur Erhaltung der kinetischen Energie
Ein Beispiel für die Lösung eines Problems mithilfe des Satzes zur Erhaltung der kinetischen Energie eines mechanischen Systems

Satz über die kinetische Energie eines Punktes in Differentialform

Durch skalare Multiplikation beider Seiten der Bewegungsgleichung eines materiellen Punktes mit der Elementarverschiebung des Punktes erhalten wir

oder, seitdem, dann

Eine skalare Größe oder das halbe Produkt aus der Masse eines Punktes und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit wird kinetische Energie eines Punktes oder Lebenskraft eines Punktes genannt.

Die letzte Gleichung stellt den Inhalt des Satzes über die kinetische Energie eines Punktes in Differentialform dar, der besagt: Das Differential der kinetischen Energie eines Punktes ist gleich der auf den Punkt wirkenden Elementararbeit.

Die physikalische Bedeutung des Satzes über die kinetische Energie besteht darin, dass sich die von einer auf einen Punkt wirkenden Kraft geleistete Arbeit in diesem als kinetische Bewegungsenergie ansammelt.

Satz über die kinetische Energie eines Punktes in Integralform

Lassen Sie den Punkt sich von Position A zu Position B bewegen und entlang seiner Flugbahn den endgültigen Bogen AB durchlaufen (Abb. 113). Integration der Gleichheit von A nach B:

Wo sind die Geschwindigkeiten des Punktes an den Positionen A bzw. B?

Die letzte Gleichung stellt den Inhalt des Satzes über die kinetische Energie eines Punktes in integraler Form dar, der besagt: Die Änderung der kinetischen Energie eines Punktes über einen bestimmten Zeitraum ist gleich der im gleichen Zeitraum von ihm geleisteten Arbeit Kraft, die auf ihn einwirkt.

Der resultierende Satz gilt, wenn sich ein Punkt unter dem Einfluss einer Kraft bewegt. Um die Gesamtarbeit einer Kraft zu berechnen, ist es jedoch, wie bereits erwähnt, im Allgemeinen erforderlich, die Bewegungsgleichungen eines Punktes zu kennen.

Daher liefert der Satz über die kinetische Energie im Allgemeinen nicht das erste Integral der Bewegungsgleichungen.

Energieintegral

Der Satz über die kinetische Energie gibt das erste Integral der Bewegungsgleichungen eines Punktes an, wenn die von einer Kraft geleistete Gesamtarbeit ohne Rückgriff auf die Bewegungsgleichungen bestimmt werden kann. Letzteres ist, wie bereits angedeutet, möglich, wenn die auf den Punkt wirkende Kraft zum Kraftfeld gehört. In diesem Fall reicht es aus, nur die Flugbahn des Punktes zu kennen. Lassen Sie die Flugbahn eines Punktes eine Art Kurve sein, dann können die Koordinaten seiner Punkte durch den Bogen der Flugbahn ausgedrückt werden, und daher kann die von den Koordinaten des Punktes abhängige Kraft durch ausgedrückt werden

und der Satz über die kinetische Energie gibt das erste Integral der Form an

wo sind die Bögen der Flugbahn, die den Punkten A entsprechen, und ist die Projektion der Kraft auf die Tangente an die Flugbahn (Abb. 113).

Potenzielle Energie und Erhaltungssatz der mechanischen Energie eines Punktes

Von besonderem Interesse ist die Bewegung eines Punktes in einem Potentialfeld, da der Satz über die kinetische Energie ein sehr wichtiges Integral der Bewegungsgleichungen liefert.

In einem Potentialfeld ist die von einer Kraft geleistete Gesamtarbeit gleich der Differenz zwischen den Werten der Kraftfunktion am Ende und am Anfang des Weges:

Daher lautet der Satz über die kinetische Energie in diesem Fall wie folgt:

Die Kraftfunktion mit umgekehrtem Vorzeichen heißt potentielle Energie eines Punktes und wird mit dem Buchstaben P bezeichnet:

Die potentielle Energie sowie die Kraftfunktion werden bis auf eine beliebige Konstante vorgegeben, deren Wert durch die Wahl der Nullebenenfläche bestimmt wird. Die Summe der kinetischen und potentiellen Energie eines Punktes wird als gesamte mechanische Energie des Punktes bezeichnet.

Der Satz über die kinetische Energie eines Punktes, wenn die Kraft zum Potentialfeld gehört, wird wie folgt geschrieben:

wo sind die Werte der potentiellen Energie, die den Punkten A und B entsprechen. Die resultierende Gleichung stellt den Inhalt des Gesetzes zur Erhaltung der mechanischen Energie für einen Punkt dar, der besagt: Bei Bewegung in einem Potentialfeld ist die Summe der kinetischen und Die potentielle Energie des Punktes bleibt konstant.

Da der Erhaltungssatz der mechanischen Energie nur für Kräfte gilt, die zu potentiellen Feldern gehören, werden die Kräfte eines solchen Feldes als konservativ (vom lateinischen Verb conservare – bewahren) bezeichnet, was in diesem Fall die Erfüllung des formulierten Gesetzes betont. Beachten Sie, dass das Konzept der potentiellen Energie keine bekannten physikalischen Grundlagen in seiner Definition hat. Der Begriff der potentiellen Energie ist in gewissem Sinne eine fiktive Größe, die so definiert ist, dass Änderungen ihres Wertes genau Änderungen der kinetischen Energie entsprechen. Die Einführung dieser mit der Bewegung verbundenen Größe hilft bei der Beschreibung der Bewegung und spielt daher eine wichtige Rolle in der sogenannten Energiebeschreibung der Bewegung, die von der analytischen Mechanik entwickelt wurde. Letzteres ist die Bedeutung der Einführung dieses Werts.

Beginnen wir mit einer Definition. Arbeit A Stärke F beim Umzug X des Körpers, auf den es angewendet wird, ist als Skalarprodukt von Vektoren definiert F Und X .

A=F x= Fxcosα.(2.9.1)

Wo α – der Winkel zwischen den Kraft- und Wegrichtungen.

ein x=(V 2 –V 0 2)/2.

Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit der Masse des Teilchens, erhalten wir

Fx=m(V 2 –V 0 2)/2.

Endlich

A=m V 2 /2 – M V 0 2 /2. (2.9.1)

Größe E=M V 2 /2 wird die kinetische Energie des Teilchens genannt.

Die Änderung der kinetischen Energie eines Körpers entspricht der Arbeit aller auf ihn einwirkenden Kräfte.

Dieser Satz ist universell, d. h. er gilt für jede Art von Bewegung. Der genaue Beweis erfordert jedoch die Verwendung der Integralrechnung. Deshalb lassen wir es weg.

A=mg( H 1 –H 2). (2.9.2)

E n = mgh(2.9.3)

Nun transformieren wir die Gleichheit (2.9.1), der mechanische Satz über die kinetische Energie nimmt die Form an

A=m V 2 /2 – M V 0 2 /2= E p1 – E p2. (2.9.4)

M V 2 /2+ E n2 = M V 0 2 /2+ E p1.

In dieser Gleichheit befindet sich auf der linken Seite die Summe aus kinetischer und potentieller Energie am Endpunkt der Flugbahn und auf der rechten Seite am Anfangspunkt.

Diese Menge wird als gesamte mechanische Energie bezeichnet. Wir werden es bezeichnen E.

E=E k + E P.

Wir sind zum Gesetz der Erhaltung der Gesamtenergie gelangt: In einem geschlossenen System bleibt die Gesamtenergie erhalten.

Wenn auf einen Körper nur konservative Kräfte wirken, bleibt seine gesamte mechanische Energie, definiert als Summe aus kinetischer und potentieller Energie, erhalten.

Reduzieren wir die Gleichheit (2.9.4) auf die Form

A=F∆x= E p1 – E n2 = –( E p.kon – E n.beg)= – ∆U.

A=– ∆U (2.9.5)

Daraus ergibt sich der mathematische Zusammenhang zwischen Kraft und potentieller Energie:

F= – ∆U/∆ X(2.9.6)

Im allgemeinen Fall, unabhängig vom Gravitationsfeld, ist die Gleichung (2.9.6) die einfachste Differentialgleichung

F= – dU/dx.

Betrachten wir das letzte Beispiel ohne Beweis. Die Gravitationskraft wird durch das Gesetz der universellen Gravitation beschrieben F(r)=GmM/r 2 und ist konservativ. Der Ausdruck für die potentielle Energie des Gravitationsfeldes hat die Form:

U(r)= –GmM/r.

Student: – Während T Der Körper bewegt sich um eine Strecke S= bei 2/2, wo A=F/M. Daher ist der erforderliche Job A=F S= F 2 T 2 /(2m).

Student: – Um die Verschiebung zu berechnen, verwende ich eine allgemeinere Formel S= V 0 T+bei 2/2, ich bekomme es für die Arbeit A=F(V 0 T+bei 2/2). Wenn ich das vorherige Ergebnis vergleiche, sehe ich, dass dieselbe Kraft über dieselben Zeiträume unterschiedliche Arbeit leistet.

Student: – Ordnen wir die Kräfte und ermitteln wir ihre Resultierende. Auf den Körper wirken eine äußere Kraft F sowie die Kräfte der Schwerkraft, der Stützreaktion und der Reibung.

Student: - A= A 1 + A 2 + A 3 = FS cosα+ mgS Sündeα– kmgS cosα.

Nach dem Satz der kinetischen Energie ist die Differenz zwischen der kinetischen Energie im End- und Anfangszustand gleich der am Körper geleisteten Arbeit:

E Zu - E n = A.

Student: – Vielleicht waren das andere Gleichungen, die nichts mit diesem Problem zu tun hatten?

Student: – Da mgh=U n – U k, wobei U n und U k jeweils die anfängliche und endgültige potentielle Energie des Körpers sind, haben wir:

M V n 2 /2 + U n + A 1 + A 3 = m V bis 2 /2+ U Zu.

Student: – Das ist meiner Meinung nach einfach. Die durch die Reibungskraft verrichtete Arbeit ist genau gleich groß wie die Wärmemenge Q. Deshalb Q= kmgS cosα.

Student: M V n 2 /2 + U n + A 1 – Q= m V bis 2 /2+ U Zu.

F= – k X (2.9.2)

Dabei ist k der Federsteifigkeitskoeffizient, X– das Ausmaß der Federverformung. Zeichnen Sie ein Diagramm der Beziehung F(X).

Student: Meine Zeichnung ist auf dem Bild abgebildet.

Abb.2.9.2

Die linke Hälfte des Diagramms entspricht der Kompression der Feder und die rechte Hälfte entspricht der Spannung.

Autor: – Berechnen wir nun die Arbeit, die die Kraft F beim Bewegen verrichtet X=0 bis X= S. Hierfür gibt es eine allgemeine Regel. Wenn wir die allgemeine Abhängigkeit der Kraft von der Verschiebung kennen, dann ist die Arbeit auf dem Abschnitt von x 1 bis x 2 die Fläche unter der Kurve F (x) auf diesem Abschnitt.

A= k X 2 /2. (2.9.3)

Diese Arbeit wird in potentielle Energie der verformten Feder umgewandelt.

Geschichte.

Rutherford demonstrierte den Zuhörern den Zerfall von Radium. Der Bildschirm leuchtete und verdunkelte sich abwechselnd.

– Jetzt siehst du – sagte Rutherford, – dass nichts sichtbar ist. Und warum nichts sichtbar ist, werden Sie jetzt sehen.

Die skalare Größe T, die der Summe der kinetischen Energien aller Punkte des Systems entspricht, wird als kinetische Energie des Systems bezeichnet.

Kinetische Energie ist ein Merkmal der Translations- und Rotationsbewegung eines Systems. Seine Veränderung wird durch die Einwirkung äußerer Kräfte beeinflusst und ist, da es sich um einen Skalar handelt, nicht von der Bewegungsrichtung der Teile des Systems abhängig.

Lassen Sie uns die kinetische Energie für verschiedene Bewegungsfälle ermitteln:

1.Vorwärtsbewegung

Die Geschwindigkeiten aller Punkte des Systems sind gleich der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts. Dann

Die kinetische Energie des Systems während der Translationsbewegung ist gleich der Hälfte des Produkts aus der Masse des Systems und dem Quadrat der Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts.

2. Rotationsbewegung(Abb. 77)

Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes des Körpers: . Dann

oder mit Formel (15.3.1):

Die kinetische Energie eines Körpers während der Rotation ist gleich dem halben Produkt aus dem Trägheitsmoment des Körpers relativ zur Rotationsachse und dem Quadrat seiner Winkelgeschwindigkeit.

3. Planparallele Bewegung

Bei einer gegebenen Bewegung besteht die kinetische Energie aus der Energie translatorischer und rotatorischer Bewegungen

Der allgemeine Bewegungsfall ergibt eine Formel zur Berechnung der kinetischen Energie, die der letzten ähnelt.

Wir haben die Definition von Arbeit und Kraft in Abschnitt 3 von Kapitel 14 vorgenommen. Hier sehen wir uns Beispiele für die Berechnung der Arbeit und Kraft von Kräften an, die auf ein mechanisches System wirken.

1.Arbeit der Schwerkraftkräfte. Es seien die Koordinaten der Anfangs- und Endpositionen des Punktes k des Körpers. Die Arbeit, die die auf dieses Gewichtsteilchen wirkende Schwerkraft verrichtet, beträgt . Dann das komplette Werk:

wobei P das Gewicht des Systems materieller Punkte ist, ist die vertikale Verschiebung des Schwerpunkts C.

2. Arbeit der auf einen rotierenden Körper ausgeübten Kräfte.

Gemäß Beziehung (14.3.1) können wir schreiben, aber ds gemäß Abbildung 74 kann aufgrund seiner unendlichen Kleinheit in der Form dargestellt werden - ein verschwindend kleiner Drehwinkel des Körpers. Dann

Größe Drehmoment genannt.

Wir schreiben Formel (19.1.6) um als

Die Elementararbeit ist gleich dem Produkt aus Drehmoment und Elementardrehung.

Beim Drehen um den Endwinkel ergibt sich:

Wenn das Drehmoment konstant ist, dann

und wir bestimmen die Potenz aus der Beziehung (14.3.5)

als Produkt aus Drehmoment und Winkelgeschwindigkeit des Körpers.

Der für einen Punkt bewiesene Satz über die Änderung der kinetischen Energie (§ 14.4) gilt für jeden Punkt im System

Indem wir solche Gleichungen für alle Punkte des Systems aufstellen und sie Term für Term addieren, erhalten wir:

oder nach (19.1.1):

Dies ist ein Ausdruck des Satzes über die kinetische Energie eines Systems in Differentialform.

Durch die Integration von (19.2.2) erhalten wir:

Der Satz über die Änderung der kinetischen Energie in seiner endgültigen Form: Die Änderung der kinetischen Energie eines Systems während einer endgültigen Verschiebung ist gleich der Summe der bei dieser Verschiebung geleisteten Arbeit aller auf das System ausgeübten äußeren und inneren Kräfte.

Wir betonen, dass innere Kräfte nicht ausgeschlossen sind. Für ein unveränderliches System ist die Summe der von allen inneren Kräften geleisteten Arbeit Null und

Wenn sich die dem System auferlegten Beschränkungen im Laufe der Zeit nicht ändern, können die äußeren und inneren Kräfte in aktive und Reaktionsbeschränkungen unterteilt werden, und Gleichung (19.2.2) kann nun geschrieben werden:

In der Dynamik wird das Konzept eines „idealen“ mechanischen Systems eingeführt. Dies ist ein System, in dem das Vorhandensein von Verbindungen keinen Einfluss auf die Änderung der kinetischen Energie hat

Solche Verbindungen, die sich mit der Zeit nicht ändern und deren Arbeitssumme an einer Elementarverschiebung Null ist, werden als ideal bezeichnet, und Gleichung (19.2.5) wird geschrieben:

Die potentielle Energie eines materiellen Punktes an einer bestimmten Position M ist die skalare Größe P, gleich der Arbeit, die die Feldkräfte erzeugen, wenn sie den Punkt von der Position M nach Null bewegen

P = A (Monat) (19.3.1)

Die potentielle Energie hängt von der Position des Punktes M ab, also von seinen Koordinaten

P = P(x,y,z) (19.3.2)

Erklären wir hier, dass ein Kraftfeld ein Teil eines räumlichen Volumens ist, an dessen jedem Punkt eine Kraft einer bestimmten Größe und Richtung auf ein Teilchen einwirkt, abhängig von der Position des Teilchens, also von den Koordinaten x, y, z. Zum Beispiel das Gravitationsfeld der Erde.

Eine Funktion U von Koordinaten, deren Differential gleich der Arbeit ist, heißt Power-Funktion. Ein Kraftfeld, für das eine Kraftfunktion existiert, wird aufgerufen potentielles Kraftfeld, und die in diesem Feld wirkenden Kräfte sind potentielle Kräfte.

Lassen Sie die Nullpunkte für zwei Kraftfunktionen P(x,y,z) und U(x,y,z) zusammenfallen.

Mit der Formel (14.3.5) erhalten wir, d.h. dA = dU(x,y,z) und

wobei U der Wert der Kraftfunktion am Punkt M ist. Daher

П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

Die potentielle Energie an jedem Punkt des Kraftfeldes ist gleich dem Wert der Kraftfunktion an diesem Punkt, mit umgekehrtem Vorzeichen.

Das heißt, wenn wir die Eigenschaften des Kraftfeldes betrachten, können wir anstelle der Kraftfunktion die potentielle Energie berücksichtigen und insbesondere wird Gleichung (19.3.3) umgeschrieben als

Die von einer potentiellen Kraft geleistete Arbeit ist gleich der Differenz zwischen den potentiellen Energiewerten eines sich bewegenden Punktes in der Anfangs- und Endposition.

Insbesondere die Arbeit der Schwerkraft:

Alle auf das System einwirkenden Kräfte seien potentiell. Dann ist für jeden Punkt k des Systems die Arbeit gleich

Dann wird es für alle Kräfte, sowohl äußere als auch innere, Kraft geben

Wo ist die potentielle Energie des gesamten Systems?

Wir setzen diese Summen in den Ausdruck für kinetische Energie (19.2.3) ein:

oder schließlich:

Bei Bewegung unter dem Einfluss potentieller Kräfte bleibt die Summe der kinetischen und potentiellen Energie des Systems in jeder seiner Positionen konstant. Dies ist das Gesetz zur Erhaltung der mechanischen Energie.

Eine 1 kg schwere Last schwingt frei nach dem Gesetz x = 0,1sinl0t. Federsteifigkeitskoeffizient c = 100 N/m. Bestimmen Sie die gesamte mechanische Energie der Last bei x = 0,05 m, wenn bei x = 0 die potentielle Energie Null ist . (0,5)

Eine herunterfallende Last mit der Masse m = 4 kg versetzt einen Zylinder mit dem Radius R = 0,4 m mit Hilfe eines Gewindes in Rotation. Das Trägheitsmoment des Zylinders gegenüber der Drehachse beträgt I = 0,2. Bestimmen Sie die kinetische Energie des Körpersystems zu dem Zeitpunkt, an dem die Geschwindigkeit der Last v = 2 m/s beträgt . (10,5)