Резюме. Закон за запазване на енергията. Теорема за кинетичната енергия Теорема за кинетичната енергия извеждане на формулата

Да започнем с определение. работа Асила Е при движение х на тялото, към което се прилага, се определя като скаларно произведение на вектори Е И х .

А= Е x= Fxcosα. (2.9.1)

Където α – ъгълът между посоките на силата и преместването.

Сега ще ни трябва израз (1.6 а), който е получен за равномерно ускорено движение. Но ние ще направим едно универсално заключение, което се нарича теорема за кинетичната енергия. И така, нека пренапишем равенството (1.6 a)

а· х=(V 2 –V 0 2)/2.

Нека умножим двете страни на уравнението по масата на частицата, получаваме

Fx=m(V 2 –V 0 2)/2.

Накрая

А= м V 2 /2 – м V 0 2 /2. (2.9.1)

Размер д= м V 2 /2 се нарича кинетична енергия на частицата.

Вие сте свикнали с факта, че в геометрията теоремите имат своя собствена устна формулировка. За да сме в крак с тази традиция, нека представим теоремата за кинетичната енергия в текстов вид.

Изменението на кинетичната енергия на тялото е равно на работата, извършена от всички сили, действащи върху него.

Тази теорема е универсална, т.е. важи за всеки тип движение. Неговото точно доказателство обаче включва използването на интегрално смятане. Затова го пропускаме.

Нека разгледаме пример за движение на тяло в гравитационно поле. Работата на гравитацията не зависи от вида на траекторията, свързваща началната и крайната точка, а се определя само от разликата във височините в началната и крайната позиция:

A=mg( ч 1 –ч 2). (2.9.2)

Нека вземем някаква точка в гравитационното поле като начало и разгледаме работата, извършена от силата на гравитацията при преместване на частица до тази точка от друга произволна точка Р, разположен на височина ч. Тази работа е равна на mghи се нарича потенциална енергия д n частици в точка Р:

д n = mgh (2.9.3)

Сега трансформираме равенството (2.9.1), механичната теорема за кинетичната енергия приема формата

А= м V 2 /2 – м V 0 2 /2= д p1 – д p2. (2.9.4)

м V 2 /2+ д n2 = м V 0 2 /2+ д p1.

В това равенство от лявата страна е сумата от кинетичната и потенциалната енергия в крайната точка на траекторията, а от дясната - в началната точка.

Това количество се нарича обща механична енергия. Ще го обозначим д.

д=д k + дП.

Стигнахме до закона за запазване на общата енергия: в затворена система общата енергия се запазва.

Все пак трябва да се направи една забележка. Докато разглеждахме пример за т.нар консервативни сили. Тези сили зависят само от положението в пространството. И работата, извършена от такива сили при преместване на тялото от едно положение в друго, зависи само от тези две положения и не зависи от пътя. Работата, извършена от консервативна сила, е механично обратима, т.е. променя знака си, когато тялото се върне в първоначалното си положение. Гравитацията е консервативна сила. В бъдеще ще се запознаем с други видове консервативни сили, например със силата на електростатичното взаимодействие.

Но в природата също има неконсервативни сили. Например сила на триене при плъзгане. Колкото по-дълъг е пътят на една частица, толкова повече работа се извършва от силата на триене при плъзгане, действаща върху тази частица. В допълнение, работата на силата на триене на плъзгане винаги е отрицателна, т.е. такава сила не може да „върне“ енергия.

За затворените системи общата енергия, разбира се, се запазва. Но за повечето проблеми в механиката по-важен е специален случай на закона за запазване на енергията, а именно законът за запазване на общата механична енергия. Ето неговата формулировка.

Ако върху тялото действат само консервативни сили, тогава неговата обща механична енергия, дефинирана като сумата от кинетичната и потенциалната енергия, се запазва.

По-нататък ще ни трябват още две важни равенства. Както винаги, ще заменим заключението с проста демонстрация на специален случай на гравитационното поле. Но формата на тези равенства ще бъде валидна за всякакви консервативни сили.

Нека сведем равенството (2.9.4) до вида

А=Е∆х= д p1 – д n2 = –( д p.kon – д n.beg)= – ∆U.

Тук разгледахме работата Апри преместване на тяло на разстояние ∆ х. Стойността ∆U, равна на разликата между крайната и началната потенциална енергия, се нарича изменение на потенциалната енергия. И полученото равенство заслужава отделен ред и специален номер. Нека побързаме да му го възложим:

А=– ∆U (2.9.5)

От тук следва математическата зависимост между сила и потенциална енергия:

Е= – ∆U/∆ х (2.9.6)

В общия случай, несвързан с гравитационното поле, равенството (2.9.6) е най-простото диференциално уравнение

Е= – dU/ dx.

Нека разгледаме последния пример без доказателство. Гравитационната сила се описва от закона за всемирното привличане Е(r)= GmM/ r 2 и е консервативен. Изразът за потенциалната енергия на гравитационното поле има формата:

U(r)= – GmM/ r.

Автор: – Нека да разгледаме един прост случай. Върху тяло с маса m, разположено в хоризонтална равнина, въздейства Tхоризонтална сила Е. Няма триене. Каква е работата, извършена насила? Е?

Студент: – По време на Tтялото ще се премести на разстояние S= АT 2/2, където А=Е/м. Следователно необходимата работа е А=Е S= Е 2 T 2/(2м).

Автор: Всичко е правилно, ако приемем, че тялото е било в покой преди силата да започне да действа върху него. Нека усложним малко задачата. Нека тялото се движи праволинейно и равномерно преди началото на силата с определена скорост V 0, сънасочена на външната сила. Каква е свършената навреме работа сега? T?

Студент: – За да изчисля изместването, ще взема по-обща формула S= V 0 T+АT 2/2, получавам го за работа А=Е(V 0 T+АT 2/2). Сравнявайки с предишния резултат, виждам, че една и съща сила произвежда различна работа за едни и същи периоди от време.

Тяло с маса m се плъзга по наклонена равнина с ъгъл на наклон α. Коефициент на триене при плъзгане на тяло върху равнина к. През цялото време върху тялото действа хоризонтална сила Е. Каква е работата, извършена от тази сила при преместване на тялото на разстояние S?

Студент: – Нека подредим силите и да намерим техния резултат. Върху тялото действа външна сила F, както и силите на гравитацията, опорната реакция и триенето.

Студент: – Оказва се, че работата A = ЕС cosα и това е. Наистина бях разочарован от навика да търся всички сили всеки път, особено след като проблемът посочи масата и коефициента на триене.

Студент: – Работа на силата ЕВече изчислих: A 1 = ЕС cosα. Работата, извършена от гравитацията, е A 2 =mgS гряхα. Работата на силата на триене ... е отрицателна, тъй като векторите на силата и преместването са противоположно насочени: A 3 = – kmgS cosα. Работа на силата на реакцията не равно на нула, тъй като силата и преместването са перпендикулярни. Вярно ли е, че наистина не разбирам значението на отрицателната работа?

Автор: – Това означава, че работата на дадена сила намалява кинетичната енергия на тялото. Между другото. Нека обсъдим движението на тялото, показано на фиг. 2.9.1, от гледна точка на закона за запазване на енергията. Първо, намерете общата работа, извършена от всички сили.

Студент: - А= А 1 + А 2 + А 3 = FS cosα+ mgS гряхα– kmgS cosα.

Според теоремата за кинетичната енергия разликата между кинетичните енергии в крайното и началното състояние е равна на работата, извършена върху тялото:

дДа се - д n = А.

Студент: – Може би това са други уравнения, които не са свързани с този проблем?

Автор: – Но всички уравнения трябва да дават един и същ резултат. Въпросът е, че потенциалната енергия се съдържа латентно в израза за общата работа. Наистина, запомнете A 2 = mgS гряхα=mgh, където h е височината на спускане на тялото. Сега получете от теоремата за кинетичната енергия израз за закона за запазване на енергията.

Студент: – Тъй като mgh=U n – U k, където U n и U k са съответно началната и крайната потенциална енергия на тялото, имаме:

м V n 2 /2 + U n + А 1 + А 3 = m Vдо 2 /2+ UДа се.

Студент: – Това според мен е лесно. Работата, извършена от силата на триене, е точно равна по големина на количеството топлина Q. Ето защо Q= kmgS cosα.

Студент: м V n 2 /2 + U n + А 1 – Q= m Vдо 2 /2+ UДа се.

Автор: – Сега нека донякъде обобщим определението за работа. Факт е, че съотношението (2.9.1) е вярно само в случай на постоянна сила. Въпреки че има много случаи, когато самата сила зависи от движението на частицата. Дай пример.

Студент: – Първото нещо, което идва на ум, е пролетното разтягане. Когато свободният край на пружината се движи, силата се увеличава. Вторият пример е свързан с махало, което, както знаем, се задържа по-трудно при големи отклонения от равновесното положение.

Автор: – Глоба. Нека да разгледаме пролетния пример. Еластичната сила на идеална пружина се описва от закона на Хук, според който, когато пружината се свие (или разтегне) с количество хвъзниква противоположна на преместването сила, линейно зависима от х. Нека запишем закона на Хук като равенство:

Е= – k х (2.9.2)

Тук k е коефициентът на твърдост на пружината, х– количеството на деформация на пружината. Начертайте графика на връзката Е(х).

Студент: Моята рисунка е показана на снимката.

Фиг.2.9.2

Лявата половина на графиката съответства на компресията на пружината, а дясната половина съответства на напрежението.

Автор: – Сега нека изчислим работата, извършена от сила F при движение от х=0 до х= S. Има общо правило за това. Ако знаем общата зависимост на силата от преместването, тогава работата върху сечението зависи от x 1 до х 2 е площта под криватаЕ(х) на този сегмент.

Студент: – Това означава, че работата, извършена от еластичната сила при движение на тялото от х=0 до х=S е отрицателен и модулът му е равен на площта на правоъгълен триъгълник: А= kS 2 /2.

А= k х 2 /2. (2.9.3)

Тази работа се преобразува в потенциална енергия на деформираната пружина.

История.

Ръдърфорд демонстрира на слушателите разпадането на радия. Екранът последователно светеше и потъмняваше.

- Сега виждате – каза Ръдърфорд, – че нищо не се вижда. А защо нищо не се вижда, сега ще видите.

Въпроси и задачи

1. Избройте ситуации, срещани в ежедневието, в които участват неконсервативни сили.

2. Бавно вдигате книгата от масата на висок рафт. Избройте силите, действащи върху книгата, и определете кои са консервативни и кои не.

3. Получената сила, действаща върху частицата, е консервативна и увеличава нейната кинетична енергия с 300 Дж. Каква е промяната в а) потенциалната енергия на частицата, б) общата й енергия?

4. Има ли физически смисъл следното твърдение: използването на колове от гъвкава пластмаса при високи скокове е довело до повишаване на резултатите поради факта, че по-голямата им гъвкавост осигурява допълнителна еластична енергия, превърната в потенциална енергия на гравитационното поле?

5. Има наклонена равнина, единият край на която е повдигнат на височина н. Телесна маса Мсе търкаля надолу (без начална скорост) от горната точка. Зависи ли скоростта на това тяло в основата на наклонената равнина от ъгъла, който сключва с хоризонта, ако а) няма триене, б) има триене?

6. Защо все още се уморяваме, когато първо изкачим планина и след това я спуснем? В крайна сметка общата работа, извършена в гравитационно поле, е нула.

7. Този пример е още по-труден. Представете си, че държите дъмбел на една ръка разстояние. Не се притеснявайте, не е много тежък. Но въпреки това ръката се уморява. Но няма механична работа, защото няма движение. Къде отива енергията на вашите мускули?

8. Пролетна маса млежи във вертикално положение на масата. Ще може ли пружината да скочи нагоре и да излезе от масата, след като я компресирате, натискайки отгоре и след това я освободите? Обяснете отговора си, като използвате закона за запазване на енергията.

9. Какво се случва с потенциалната енергия, която водата има на върха на водопада, когато водата достигне основата си? Какво се случва с кинетичната и пълната енергия?

10. Опитните туристи предпочитат да прекрачат паднал дънер, отколкото да стъпят върху него и да скочат от противоположната страна. Обяснете явлението.

11. Двама души са на различни платформи, които се движат един спрямо друг със скорост V. Те наблюдават дънер, който се тегли по грапава хоризонтална повърхност. Съвпадат ли стойностите, получени от тези хора: а) кинетична енергия на дневника; б) обща работа, извършена върху тялото; в) механична енергия, преобразувана в топлинна поради наличието на триене? Отговорът на въпрос в) не противоречи ли на отговорите на въпроси а) и б)?

12. Откъде идва кинетичната енергия на автомобил, когато се ускорява равномерно от състояние на покой? Как можем да свържем увеличаването на кинетичната енергия с наличието на триене между гумите и магистралата?

13. През зимата Земята се доближава до Слънцето на най-късо разстояние. Кога потенциалната енергия на Земята е най-голяма?

14 Може ли общата механична енергия да бъде отрицателна? Дай примери.

15. В кой момент силата е най-голяма? За всяка номерирана точка посочете в каква посока действа силата. Коя точка съответства на равновесното положение?

Задачи

16. Куршумът прониква във фиксирана дъска с минимална скорост 200 Госпожица. С каква скорост трябва да се движи куршумът, за да пробие тази дъска, окачена на дълга нишка? Тегло на куршума 15 Ж, тегло на борда 90 Ж, куршумът удря точно центъра на дъската перпендикулярно на нейната повърхност.

17. Дървена топка от маса М =1 килограмависи на въже, така че разстоянието от точката на окачване на въжето до центъра на топката е равно на Л= 1 м. Топката е ударена от самолет, летящ хоризонтално със скорост V 1 =400 Госпожицамаса на куршума м= 10 Ж, който пробива топката точно по диаметъра и излита от нея със скорост V 2 =230 Госпожица. Определете ъгъл  максимално отклонение на окачването от вертикалата. Пренебрегвайте въздушното съпротивление и времето, необходимо на куршума да проникне в топката.

18. На равнина, наклонена към хоризонта под ъгъл α, две тела с маса м. Коефициент на триене между тела и равнина к>tgα. На телата са дадени еднакви насрещни скорости V. На какво максимално начално разстояние Л ще се сблъскат ли между тела?

19. Количката се търкаля надолу по гладки релси, образувайки вертикален кръг с радиус Р. От каква минимална височина з min трябва ли количката да се търкаля, за да не излиза от релсите по цялата им дължина? Какво ще бъде движението на количката, ако се търкаля надолу от високо? ч, по-малък змин?

20. Определете силата, действаща върху вертикалната стена от падащия дъмбел в момента, когато оста на дъмбела сключва ъгъл  с хоризонталата. Дъмбелът започва движението си от вертикално положение без начална скорост. Масата на всяка топка с дъмбел е m.

21. На дължина на резбата 2 чокачено тегло м. На разстояние чпод точката на окачване се забива пирон. Нишката се отклонява от равновесното положение под ъгъл /2 и се освобождава. До каква максимална височина ще се издигне тежестта след преминаване през равновесното положение?

22. Масова стойка Мс полусферичен радиус на вдлъбнатина Рстои върху гладка хоризонтална равнина. Малко тяло с маса мПоставете го на ръба на прореза и го освободете. Намерете скоростта на тялото и стойката, силата, действаща върху тялото в момента на преминаване на най-ниската точка

23. Тегло маса м, окачени на втвърдяваща пружина к, се държи от стойката, така че пружината да е в недеформирано състояние. Стойката внезапно се отстранява. Намерете максималното удължение на пружината и максималната скорост на товара.

24. От товар, окачен на втвърдяваща пружина к, част от масата се отделя м. До каква височина ще се издигне останалата част от товара след това?

25. Колко сила трябва да се приложи към горната маса? м, така че по-ниският товар тежи М, свързан с горната втвърдяваща пружина к, излезе от пода, след като силата спря?

26. Две тела с маси лежат на хоризонтална равнина м 1 и м 2, свързани с недеформирана пружина. Намерете коя е най-малката постоянна сила, която трябва да бъде приложена към лявото тяло, за да може дясното да се движи. Коефициентът на триене между телата и равнината е .

Преглед:тази статия е прочетена 48440 пъти

Pdf Изберете език... Руски Украински Английски

Кратък преглед

Целият материал се изтегля по-горе, след избор на език

Два случая на трансформация на механичното движение на материална точка или система от точки:

механичното движение се прехвърля от една механична система в друга като механично движение;
механичното движение се превръща в друга форма на движение на материята (под формата на потенциална енергия, топлина, електричество и др.).

Когато се разглежда трансформацията на механичното движение без прехода му към друга форма на движение, мярката на механичното движение е векторът на импулса на материална точка или механична система. Мярката за силата в този случай е векторът на импулса на силата.

Когато механичното движение се превърне в друга форма на движение на материята, кинетичната енергия на материална точка или механична система действа като мярка за механично движение. Мярката за действието на силата при трансформиране на механичното движение в друга форма на движение е работата на силата

Кинетична енергия

Кинетичната енергия е способността на тялото да преодолява препятствие по време на движение.

Кинетична енергия на материална точка

Кинетичната енергия на материална точка е скаларна величина, равна на половината от произведението на масата на точката и квадрата на нейната скорост.

Кинетична енергия:

характеризира както транслационните, така и ротационните движения;
не зависи от посоката на движение на точките на системата и не характеризира промените в тези посоки;
характеризира действието както на вътрешни, така и на външни сили.

Кинетична енергия на механична система

Кинетичната енергия на системата е равна на сумата от кинетичните енергии на телата на системата. Кинетичната енергия зависи от вида на движението на телата на системата.

Определяне на кинетичната енергия на твърдо тяло при различни видове движение.

Кинетична енергия на постъпателното движение
При постъпателно движение кинетичната енергия на тялото е равна на T=м V 2 /2.

Мярката за инерцията на тялото по време на транслационно движение е масата.

Кинетична енергия на въртеливото движение на тялото

При въртеливото движение на тялото кинетичната енергия е равна на половината от произведението на инерционния момент на тялото спрямо оста на въртене и квадрата на неговата ъглова скорост.

Мярка за инерцията на тялото по време на въртеливо движение е инерционният момент.

Кинетичната енергия на тялото не зависи от посоката на въртене на тялото.

Кинетична енергия на плоскопаралелно движение на тяло

При плоскопаралелно движение на тяло кинетичната енергия е равна на

Работа на силата

Работата на силата характеризира действието на сила върху тялото по време на движение и определя промяната в модула на скоростта на движещата се точка.

Елементарна работа на силата

Елементарната работа на силата се определя като скаларна величина, равна на произведението на проекцията на силата върху допирателната към траекторията, насочена в посоката на движение на точката, и безкрайно малкото преместване на точката, насочено по тази допирателна.

Работа, извършена със сила при окончателното изместване

Работата, извършена от сила върху крайно преместване, е равна на сумата от нейната работа върху елементарни сечения.

Работата на сила върху крайно преместване M 1 M 0 е равна на интеграла от елементарната работа по това преместване.

Работата на сила върху изместване M 1 M 2 е изобразена от площта на фигурата, ограничена от абсцисната ос, кривата и ординатите, съответстващи на точките M 1 и M 0.

Мерната единица за работата на силата и кинетичната енергия в системата SI е 1 (J).

Теореми за работата на силата

Теорема 1. Работата, извършена от резултантната сила върху определено преместване, е равна на алгебричната сума на работата, извършена от съставните сили върху същото изместване.

Теорема 2.Работата, извършена от постоянна сила върху полученото изместване, е равна на алгебричната сума на работата, извършена от тази сила върху изместванията на компонентите.

Мощност

Мощността е величина, която определя работата, извършена от сила за единица време.

Единицата за измерване на мощността е 1W = 1 J/s.

Случаи на определяне работата на силите

Работа на вътрешните сили

Сумата от работата, извършена от вътрешните сили на твърдо тяло по време на всяко движение, е нула.

Работа на гравитацията

Работа на еластичната сила

Работа на силата на триене

Работа на силите, приложени към въртящо се тяло

Елементарната работа на силите, приложени към твърдо тяло, въртящо се около фиксирана ос, е равна на произведението на основния момент на външните сили спрямо оста на въртене и увеличението на ъгъла на въртене.

Съпротивление при търкаляне

В зоната на контакт на неподвижния цилиндър и равнината възниква локална деформация на контактна компресия, напрежението се разпределя по елиптичен закон и линията на действие на резултантния N от тези напрежения съвпада с линията на действие на товара сила върху цилиндъра Q. Когато цилиндърът се търкаля, разпределението на натоварването става асиметрично с максимум, изместен към движение. Полученият N се измества от количеството k - рамото на силата на триене при търкаляне, което също се нарича коефициент на триене при търкаляне и има размерността на дължината (cm)

Теорема за изменението на кинетичната енергия на материална точка

Промяната в кинетичната енергия на материална точка при определено преместване е равна на алгебричната сума на всички сили, действащи върху точката при същото преместване.

Теорема за промяната на кинетичната енергия на механична система

Изменението на кинетичната енергия на механична система при определено преместване е равно на алгебричната сума на вътрешните и външните сили, действащи върху материалните точки на системата при същото преместване.

Теорема за промяната на кинетичната енергия на твърдо тяло

Промяната в кинетичната енергия на твърдо тяло (непроменена система) при определено преместване е равна на сумата от външните сили, действащи върху точки от системата при същото преместване.

Ефективност

Сили, действащи в механизмите

Силите и двойките сили (моменти), които се прилагат към механизъм или машина, могат да бъдат разделени на групи:

1. Движещи сили и моменти, които извършват положителна работа (приложени към задвижващите връзки, например налягане на газа върху буталото в двигател с вътрешно горене).

2. Сили и моменти на съпротива, които извършват отрицателна работа:

полезно съпротивление (те извършват работата, изисквана от машината и се прилагат към задвижваните връзки, например съпротивлението на товара, повдигнат от машината),
сили на съпротивление (например сили на триене, съпротивление на въздуха и др.).

3. Силите на тежестта и еластичните сили на пружините (както положителна, така и отрицателна работа, докато работата за пълен цикъл е нула).

4. Сили и моменти, приложени към тялото или стойката отвън (реакция на основата и др.), които не извършват работа.

5. Сили на взаимодействие между звена, действащи в кинематични двойки.

6. Инерционните сили на връзките, причинени от масата и движението на връзките с ускорение, могат да извършват положителна, отрицателна работа и да не извършват работа.

Работа на силите в механизмите

Когато машината работи в стационарно състояние, нейната кинетична енергия не се променя и сумата от работата на движещите сили и силите на съпротивление, приложени към нея, е нула.

Работата, изразходвана за привеждане на машината в движение, се изразходва за преодоляване на полезни и вредни съпротивления.

Ефективност на механизма

Механичният коефициент на полезно действие при равномерно движение е равен на отношението на полезната работа на машината към работата, изразходвана за привеждане на машината в движение:

Машинните елементи могат да бъдат свързани последователно, паралелно и смесено.

Ефективност при серийно свързване

Когато механизмите са свързани последователно, общата ефективност е по-малка от най-ниската ефективност на отделен механизъм.

Ефективност при паралелно свързване

Когато механизмите са свързани паралелно, общата ефективност е по-голяма от най-ниската и по-малка от най-високата ефективност на отделен механизъм.

Формат: pdf

Език: руски, украински

Пример за изчисление на цилиндрично зъбно колело
Пример за изчисляване на цилиндрично зъбно колело. Извършен е избор на материал, изчисляване на допустимите напрежения, изчисляване на контактна и якост на огъване.

Пример за решаване на задача за огъване на лъч
В примера са построени диаграми на напречни сили и огъващи моменти, намерено е опасно сечение и е избран I-лъч. Проблемът анализира изграждането на диаграми с помощта на диференциални зависимости и извърши сравнителен анализ на различни напречни сечения на гредата.

Пример за решаване на задача с усукване на вал
Задачата е да се тества якостта на стоманен вал при даден диаметър, материал и допустимо напрежение. По време на решението се изграждат диаграми на въртящи моменти, напрежения на срязване и ъгли на усукване. Собственото тегло на вала не се взема предвид

Пример за решаване на задача за опън-натиск на прът
Задачата е да се тества якостта на стоманен прът при определени допустими напрежения. По време на решението се изграждат диаграми на надлъжни сили, нормални напрежения и премествания. Собственото тегло на пръта не се взема предвид

Приложение на теоремата за запазване на кинетичната енергия
Пример за решаване на задача с помощта на теоремата за запазване на кинетичната енергия на механична система

Теорема за кинетичната енергия на точка в диференциална форма

Умножавайки скаларно двете страни на уравнението на движение на материална точка по елементарното преместване на точката, получаваме

или от , тогава

Скаларна величина или половината от произведението на масата на точка и квадрата на нейната скорост се нарича кинетична енергия на точка или жива сила на точка.

Последното равенство съставлява съдържанието на теоремата за кинетичната енергия на точка в диференциална форма, която гласи: диференциалът на кинетичната енергия на точка е равен на елементарната работа, действаща върху точката на силата.

Физическият смисъл на теоремата за кинетичната енергия е, че работата, извършена от сила, действаща върху точка, се натрупва в нея като кинетична енергия на движение.

Теорема за кинетичната енергия на точка в интегрална форма

Нека точката се премести от позиция A в позиция B, преминавайки по своята траектория крайната дъга AB (фиг. 113). Интегриране на равенството от A до B:

където са скоростите на точката съответно в позиции A и B.

Последното равенство съставлява съдържанието на теоремата за кинетичната енергия на точка в интегрална форма, която гласи: промяната в кинетичната енергия на точка за определен период от време е равна на работата, извършена през същото време от сила, действаща върху него.

Получената теорема е валидна, когато една точка се движи под въздействието на някаква сила. Въпреки това, както беше посочено, за да се изчисли общата работа на сила, в общия случай е необходимо да се знаят уравненията на движението на точка.

Следователно теоремата за кинетичната енергия, най-общо казано, не дава първия интеграл на уравненията на движението.

Енергиен интеграл

Теоремата за кинетичната енергия дава първия интеграл от уравненията на движението на точка, ако общата работа, извършена от дадена сила, може да бъде определена, без да се прибягва до уравненията на движението. Последното е възможно, както беше посочено по-горе, ако силата, действаща върху точката, принадлежи на силовото поле. В този случай е достатъчно да знаете само траекторията на точката. Нека траекторията на точка е някаква крива, тогава координатите на нейните точки могат да бъдат изразени чрез дъгата на траекторията и следователно силата, зависеща от координатите на точката, може да бъде изразена чрез

и теоремата за кинетичната енергия дава първия интеграл на формата

където са дъгите на траекторията, съответстващи на точките А и е проекцията на силата върху допирателната към траекторията (фиг. 113).

Потенциална енергия и закон за запазване на механичната енергия на точка

От особен интерес е движението на точка в потенциално поле, тъй като теоремата за кинетичната енергия дава много важен интеграл от уравненията на движението.

В потенциално поле общата работа, извършена от сила, е равна на разликата между стойностите на функцията на силата в края и в началото на пътя:

Следователно теоремата за кинетичната енергия в този случай се записва като:

Силовата функция, взета с обратен знак, се нарича потенциална енергия на точка и се обозначава с буквата P:

Потенциалната енергия, както и силова функция, се определят с точност до произволна константа, чиято стойност се определя от избора на повърхността на нулевото ниво. Сумата от кинетичната и потенциалната енергия на дадена точка се нарича обща механична енергия на точката.

Теоремата за кинетичната енергия на точка, ако силата принадлежи на потенциалното поле, се записва като:

където са стойностите на потенциалната енергия, съответстваща на точки A и B. Полученото уравнение съставлява съдържанието на закона за запазване на механичната енергия за точка, който гласи: при движение в потенциално поле сумата от кинетичната и потенциалната енергия на точката остава постоянна.

Тъй като законът за запазване на механичната енергия е валиден само за сили, принадлежащи на потенциални полета, силите на такова поле се наричат консервативни (от латинския глагол conservare - запазвам), което подчертава изпълнението на формулирания закон в този случай. Имайте предвид, че ако концепцията за кинетична енергия има известни физически основи в своята дефиниция, тогава концепцията за потенциална енергия няма това. Концепцията за потенциална енергия в определен смисъл е фиктивна величина, която е дефинирана така, че промените в нейната стойност точно да съответстват на промените в кинетичната енергия. Въвеждането на тази величина, свързана с движението, помага за описанието на движението и поради това играе важна роля в така нареченото енергийно описание на движението, разработено от аналитичната механика. Последното е смисълът на въвеждането на тази стойност.

А=F x= Fxcosα.(2.9.1)

Където α – ъгълът между посоките на силата и преместването.

a x=(V 2 –V 0 2)/2.

Нека умножим двете страни на уравнението по масата на частицата, получаваме

Fx=m(V 2 –V 0 2)/2.

Накрая

A= m V 2 /2 – м V 0 2 /2. (2.9.1)

Размер д=м V 2 /2 се нарича кинетична енергия на частицата.

A=mg( ч 1 –ч 2). (2.9.2)

д n = mgh(2.9.3)

Сега трансформираме равенството (2.9.1), механичната теорема за кинетичната енергия приема формата

A= m V 2 /2 – м V 0 2 /2= д p1 – д p2. (2.9.4)

м V 2 /2+ д n2 = м V 0 2 /2+ д p1.

Това количество се нарича обща механична енергия. Ще го обозначим д.

д=д k + дП.

Стигнахме до закона за запазване на общата енергия: в затворена система общата енергия се запазва.

Нека сведем равенството (2.9.4) до вида

A=F∆х= Е p1 – д n2 = –( д p.kon – д n.beg)= – ∆U.

Тук разгледахме работата Апри преместване на тяло на разстояние ∆ х.Стойността ∆U, равна на разликата между крайната и началната потенциална енергия, се нарича изменение на потенциалната енергия. И полученото равенство заслужава отделен ред и специален номер. Нека побързаме да му го възложим:

А=– ∆U (2.9.5)

От тук следва математическата зависимост между сила и потенциална енергия:

Е= – ∆U/∆ х(2.9.6)

В общия случай, несвързан с гравитационното поле, равенството (2.9.6) е най-простото диференциално уравнение

F= – dU/dx.

Нека разгледаме последния пример без доказателство. Гравитационната сила се описва от закона за всемирното привличане F(r)=GmM/r 2и е консервативен. Изразът за потенциалната енергия на гравитационното поле има формата:

U(r)= –GmM/r.

Студент: – По време на Tтялото ще се премести на разстояние S= аТ 2/2, където А=Е/м. Следователно необходимата работа е А=Е S= Е 2 T 2/(2м).

Студент: – За да изчисля изместването, ще взема по-обща формула S= V 0 T+аТ 2/2, получавам го за работа А=Е(V 0 T+аТ 2/2). Сравнявайки с предишния резултат, виждам, че една и съща сила произвежда различна работа за едни и същи периоди от време.

Студент: - А= А 1 + А 2 + А 3 = FS cosα+ mgS гряхα– kmgS cosα.

дДа се - д n = А.

Студент: – Може би това са други уравнения, които не са свързани с този проблем?

м V n 2 /2 + U n + А 1 + А 3 = m Vдо 2 /2+ UДа се.

Студент: м V n 2 /2 + U n + А 1 – Q= m Vдо 2 /2+ UДа се.

Е= – k х (2.9.2)

Студент: Моята рисунка е показана на снимката.

Фиг.2.9.2

Автор: – Сега нека изчислим работата, извършена от сила F при движение от х=0 до х= S. Има общо правило за това. Ако знаем общата зависимост на силата от преместването, тогава работата върху участъка от x 1 до x 2 е площта под кривата F (x) на този сегмент.

А= k х 2 /2. (2.9.3)

Тази работа се преобразува в потенциална енергия на деформираната пружина.

История.

Ръдърфорд демонстрира на слушателите разпадането на радия. Екранът последователно светеше и потъмняваше.

– Сега виждате – каза Ръдърфорд, – че нищо не се вижда. А защо нищо не се вижда, сега ще видите.

Скаларната величина T, равна на сумата от кинетичните енергии на всички точки на системата, се нарича кинетична енергия на системата.

Кинетичната енергия е характеристика на постъпателното и ротационното движение на система. Изменението му се влияе от действието на външни сили и тъй като е скалар, не зависи от посоката на движение на частите на системата.

Нека намерим кинетичната енергия за различни случаи на движение:

1.Движение напред

Скоростите на всички точки на системата са равни на скоростта на центъра на масата. Тогава

Кинетичната енергия на системата по време на транслационно движение е равна на половината от произведението на масата на системата и квадрата на скоростта на центъра на масата.

2. Ротационно движение(Фиг. 77)

Скорост на всяка точка на тялото: . Тогава

или използвайки формула (15.3.1):

Кинетичната енергия на тялото по време на въртене е равна на половината от произведението на инерционния момент на тялото спрямо оста на въртене и квадрата на неговата ъглова скорост.

3. Равнопаралелно движение

За дадено движение кинетичната енергия се състои от енергията на транслационните и ротационните движения

Общият случай на движение дава формула за изчисляване на кинетичната енергия, подобна на последната.

Направихме определението за работа и мощност в параграф 3 на глава 14. Тук ще разгледаме примери за изчисляване на работата и мощността на силите, действащи върху механична система.

1.Работа на силите на гравитацията. Нека , координати на началното и крайното положение на точка k на тялото. Работата, извършена от силата на гравитацията, действаща върху тази частица тегло, ще бъде . След това цялата работа:

където P е теглото на системата от материални точки, е вертикалното изместване на центъра на тежестта C.

2. Работа на силите, приложени към въртящо се тяло.

Съгласно връзката (14.3.1), можем да напишем , но ds съгласно Фигура 74, поради безкрайната си малкост, може да бъде представен във формата - безкрайно малък ъгъл на въртене на тялото. Тогава

величина наречен въртящ момент.

Пренаписваме формула (19.1.6) като

Елементарната работа е равна на произведението на въртящия момент по елементарното въртене.

При завъртане през крайния ъгъл имаме:

Ако въртящият момент е постоянен, тогава

и определяме мощността от връзката (14.3.5)

като произведение на въртящия момент и ъгловата скорост на тялото.

Теоремата за промяната на кинетичната енергия, доказана за точка (§ 14.4), ще бъде валидна за всяка точка в системата

Съставяйки такива уравнения за всички точки на системата и добавяйки ги член по член, получаваме:

или, съгласно (19.1.1):

което е израз на теоремата за кинетичната енергия на система в диференциална форма.

Интегрирайки (19.2.2), получаваме:

Теоремата за промяната на кинетичната енергия в нейния окончателен вид: промяната на кинетичната енергия на система по време на някакво крайно преместване е равна на сумата от работата, извършена върху това изместване на всички външни и вътрешни сили, приложени към системата.

Подчертаваме, че не са изключени вътрешни сили. За непроменлива система сумата от работата, извършена от всички вътрешни сили, е нула и

Ако ограниченията, наложени на системата, не се променят с течение на времето, тогава силите, външни и вътрешни, могат да бъдат разделени на активни и противодействащи ограничения и уравнение (19.2.2) вече може да бъде написано:

В динамиката се въвежда понятието „идеална“ механична система. Това е система, в която наличието на връзки не влияе на изменението на кинетичната енергия, т.е

Такива връзки, които не се променят с времето и чиято сума на работата върху елементарно изместване е нула, се наричат идеални и уравнението (19.2.5) ще бъде написано:

Потенциалната енергия на материална точка в дадена позиция M е скаларната величина P, равна на работата, която полевите сили ще произведат при преместване на точката от позиция M до нула

P = A (mo) (19.3.1)

Потенциалната енергия зависи от позицията на точка М, тоест от нейните координати

P = P(x,y,z) (19.3.2)

Нека обясним тук, че силовото поле е част от пространствен обем, във всяка точка от която върху частица действа сила с определена величина и посока, в зависимост от позицията на частицата, тоест от координатите x, y, z. Например гравитационното поле на Земята.

Извиква се функция U от координати, чийто диференциал е равен на работата степенна функция. Нарича се силово поле, за което съществува силова функция потенциално силово поле, а силите, действащи в това поле, са потенциални сили.

Нека нулевите точки за две силови функции P(x,y,z) и U(x,y,z) съвпадат.

Използвайки формула (14.3.5) получаваме, т.е. dA = dU(x,y,z) и

където U е стойността на функцията на силата в точка М. Следователно

П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

Потенциалната енергия във всяка точка на силовото поле е равна на стойността на силовата функция в тази точка, взета с обратен знак.

Тоест, когато разглеждаме свойствата на силовото поле, вместо функцията на силата, можем да вземем предвид потенциалната енергия и по-специално уравнението (19.3.3) ще бъде пренаписано като

Работата, извършена от потенциална сила, е равна на разликата между стойностите на потенциалната енергия на движеща се точка в началната и крайната позиция.

По-специално, работата на гравитацията:

Нека всички сили, действащи върху системата, са потенциални. Тогава за всяка точка k от системата работата е равна на

Тогава за всички сили, външни и вътрешни, ще има

където е потенциалната енергия на цялата система.

Ние заместваме тези суми в израза за кинетична енергия (19.2.3):

или накрая:

При движение под въздействието на потенциални сили сумата от кинетичната и потенциалната енергия на системата във всяко нейно положение остава постоянна. Това е законът за запазване на механичната енергия.

Товар с тегло 1 kg се колебае свободно по закона x = 0,1sinl0t. Коефициент на твърдост на пружината c = 100 N/m. Определете общата механична енергия на товара при x = 0,05 m, ако при x = 0 потенциалната енергия е нула . (0,5)

Товар с маса m = 4 kg, падайки надолу, предизвиква въртене с помощта на резба на цилиндър с радиус R = 0,4 m.Инерционният момент на цилиндъра спрямо оста на въртене е I = 0,2. Определете кинетичната енергия на системата от тела в момента, когато скоростта на товара v = 2m/s . (10,5)